Dérivées successives

Dans cet exercice, on va dériver plusieurs fois une fonction. La fonction choisie peut être dérivée autant de fois que l'on veut sur l'intervalle proposé. On notera  \(f''\)  la fonction dérivée de  \(f'\) ,  \(f'''\)  la fonction dérivée de  \(f''\)  et  \(f''''\)  la dérivée de  \(f'''\) .

1. Donner l'expression des dérivées successives  \(f'\) , \(f''\)   \(f'''\) et \(f''''\)  de la fonction \(f\)  définie sur \(\left]-\infty \; ; \; 0\right[ \cup \left]0 \; ; \; +\infty\right[\)  par  \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) .

2. Soit  \(n\)  un entier naturel non nul. On change les notations et on note  \(f^{(n)}\)  la « dérivée \(n\) -ième » de la fonction  \(f\) , c'est-à-dire la fonction obtenue en dérivant  \(n\)  fois de suite la fonction  \(f\) .
    a. Déduire de la question précédente l'expression de  \(f^{(2)}\) ,  \(f^{(3)}\)  et  \(f^{(4)}\) .
    b. Quelle semble être l'expression de  \(f^{(n)}\) en fonction de `n` ?